Adição e Subtração com Ângulos

Adição

Dado os ângulos de 6º 25’ 36” e 4º 40’ 30”, a soma entre eles é:

O resultado da soma é 10º 65’ 66”, porém podemos apresentar o resultado de uma outra forma. Acompanhe a demonstração:

No ângulo de medida 10º 65’ 66”, temos que 65’ = 60’ + 5’ = 1º + 5’ e 66” = 60” + 6” = 1’ + 6”. Dessa forma, 10º 65’ 66” = 11º 6’ 6”.

Subtração

Dados os ângulos 54º 16’ 32” e 27º 18’ 40”, a subtração entre eles é:


Observe que existem valores no minuendo que são menores dos que os valores do subtraendo, quando isso acontece na subtração temos que tirar do valor da esquerda completando o que está menor.
Ao retirarmos 1’ de 16’ ficaremos com 15’, sendo que 1’ = 60” o qual deve ser somado a 32” resultando em 92”.

Agora devemos retirar 1º de 54º que será igual à 53º, considerando que 1º = 60’, temos 60’ + 15’ = 75’. Portanto:

Agora devemos retirar 1º de 54º que será igual à 53º, considerando que 1º = 60’, temos 60’ + 15’ = 75’. Portanto:

Operações com medidas de ângulos

simbolos:

1°_um grau
1' minuto
1''seguundos

Transformando unidades:

15° 12'--minutos
15x60=900
900'+12'=912'
120'--Graus
120:60=2°
180"--minutos
180:60=3°

resultado
Graus- minutos-segundos-multiplicar por 60
segundos-minutos-Graus- dividir por 60

Os ângulos podem ser somados, multiplicados, subtraídos e divididos. Para fazer isso, no entanto, é necessário levar em conta uma característica específica: suas sub-unidades são os minutos e os segundos, e muitas vezes é necessário fazer transformações com medidas de ângulos durante essas operações.

Quando você efetua uma soma de números decimais e quando a soma das unidades chega a dez ou mais, você "leva 1" à casa das dezenas. O mesmo vale para as dezenas ("vai 1" na casa das centenas), e assim por diante.

No caso dos ângulos é a mesma coisa: quando os minutos chegarem a 60 ou mais, você adiciona "1" na casa dos graus.



somando-se os minutos, obtém-se:


Como o resultado excedeu os 60', ficam 12' na casa dos minutos e vão 60' para a casa dos graus. 60' = 1º, então, você leva 1º para a casa dos minutos.

O mesmo vale para os segundos:

sobram 24" e vai 1:

somam-se agora os minutos:

Sobram 13' e vai 1º.

Exemplo
Veja outro exemplo da operação, e você entenderá melhor como ela funciona:



sobram 3'' e vai 1:

somam-se agora os minutos:

sobram 14' e vai 1°:

Operações com medidas de ângulos
Adição de graus, minutos e segundos

Os ângulos podem ser somados, multiplicados, subtraídos e divididos. Para fazer isso, no entanto, é necessário levar em conta uma característica específica: suas sub-unidades são os minutos e os segundos, e muitas vezes é necessário fazer transformações com medidas de ângulos durante essas operações.

Quando você efetua uma soma de números decimais e quando a soma das unidades chega a dez ou mais, você "leva 1" à casa das dezenas. O mesmo vale para as dezenas ("vai 1" na casa das centenas), e assim por diante.

No caso dos ângulos é a mesma coisa: quando os minutos chegarem a 60 ou mais, você adiciona "1" na casa dos graus.

Veja este exemplo:


Folha Imagem


somando-se os minutos, obtém-se:


Folha Imagem


Como o resultado excedeu os 60', ficam 12' na casa dos minutos e vão 60' para a casa dos graus. 60' = 1º, então, você leva 1º para a casa dos minutos.


Folha Imagem


O mesmo vale para os segundos:


Folha Imagem


sobram 24" e vai 1:


Folha Imagem


somam-se agora os minutos:


Folha Imagem


Sobram 13' e vai 1º.


Folha Imagem


Exemplo
Veja outro exemplo da operação, e você entenderá melhor como ela funciona:


Folha Imagem



Folha Imagem


sobram 3'' e vai 1:


Folha Imagem


somam-se agora os minutos:


Folha Imagem


sobram 14' e vai 1°:


EXERCIICOS sobre operações com medidas de angulo?
determine::
a) (46° 48' 54'') : 2 =
b)(31° 32' 45'' ) : 3 =
c)(52° 63' 42'') : 5 =
d)45° : 2 =



a) (46° 48' 54'') : 2 = Divide-se normalmente

23° 24' 27''

b)(31° 32' 45'' ) : 3 Vc deve transformar os valores para que a divisão dê exata. Primeiro vc passa os 2' para a casa dos segundos - lembrando de somar 60 quantas vezes vc tirou da casa anterior)

31° 30' 165'' ( 2' equivale a 120" somado com os 45" tem-se 165")
Vc devefazer isso com os graus passando para minutos, aplicando a mesma regra)

30° 90' 165'' ( Como 1 grau vale 60 min) Agora vc pode dividir normalmente:


30° 90' 165'' : 3 = 10° 30' 55''

c) (52° 63' 42'') : 5



d) 45° : 2 = desmembra o 45° em graus e minutos:
44° 60' : 2 = depois divide normalmente

Ângulos

O ÂNGULO E SEUS ELEMENTOS

Duas semi-retas que não estejam contidas na mesma reta, e que tenham a mesma origem, dividem o plano em duas regiões: uma convexa e outra não-convexa.

Cada uma dessas regiões, junto com as semi-retas, forma um ângulo. Assim, as duas semi-retas determinam dois ângulos:



Todo ângulo possui dois lados e um vértice. Os lados são as semi-retas que determinam. O vértice é a origem comum dessas semi-retas.

O ângulo convexo, de vértice O e lados , é indicado por: AÔB, BÔA ou Ô.


Ângulos

Observe agora dois casos em que as semi-retas de mesma origem estão contidas na mesma reta. Nesses casos, formam-se também ângulos.

* As semi-retas coincidem. Temos aí o ângulo nulo e o ângulo de uma volta.



* As semi-retas não coincidem. Temos aí dois ângulos rasos ou de meia-volta.

Podemos, então, estabelecer que:


Ângulo é a região do plano limitada por duas semi-retas que têm a mesma origem.



MEDIDA DE UM ÂNGULO

A medida de um ângulo é dada pela medida de sua abertura. A unidade padrão de medida de um ângulo é o grau, cujo símbolo é º.

Tomando um ângulo raso ou de meia-volta e dividindo-o em 180 partes iguais, determinamos 180 ângulos de mesma medida. Cada um desses ângulos representa um ângulo de 1º grau (1º).


Para medir ângulos utilizamos um instrumento denominado transferidor. O transferidor já vem graduado com divisões de 1º em 1º. Existem dois tipos de transferidor: Transferidor de 180º e de 360º.

O grau compreende os submúltiplos:

* O minuto corresponde a do grau. Indica-se um minuto por 1'.

1º=60'

* O segundo corresponde a do minuto. Indica-se um segundo por 1''.

1'=60''

Logo, podemos concluir que:

1º = 60'.60 = 3.600''

Quando um ângulo é medido em graus, minutos e segundos, estamos utilizando o sistema sexagesimal.

Ângulos

Como medir um ângulo, utilizando o transferidor

Observe a seqüência

* O centro O do transferidor deve ser colocado sobre o vértice do ângulo.
* A linha horizontal que passa pelo centro deve coincidir com uma das semi-retas do ângulo .
* Verificamos a medida da escala em que passa a outra semi-reta .

Leitura de um ângulo

Observe as seguintes indicações de ângulos e suas respectivas leituras:

15º (lê-se "15 graus'')

45º50' (lê-se ''45 graus e 50 minutos'')

30º48'36'' (lê-se ''30 graus, 48 minutos e 36 segundos'')

Observações

Além do transferidor, existem outros instrumentos que medem ângulos com maior precisão. Como exemplos temos o teodolito, utilizado na agrimensura, e o sextante, utilizado em navegação.

A representação da medida de um ângulo pode também ser feita através de uma letra minúscula ou de um número.



Um ângulo raso ou de meia-volta mede 180º.

O ângulo de uma volta mede 360º.



Questões envolvendo medidas de ângulos

Observe a resolução das questões abaixo:

* Determine a medida do ângulo AÔB na figura:

Solução

Medida de AÔB = x

Medida de BÔC = 105º

Como m ( AÔC) é 180º, pois é um ângulo raso, temos:

m (AÔB) + m (BÔC) = m (AÔC)

x + 105º = 180º

x = 180º - 105º

x = 75º

Logo, a medida de AÔB é 75º.



* Determine a medida do 6angulo não-convexo na figura:

Solução

Verificamos que o ângulo não-convexo na figura (x) e o ângulo convexo (50º) formam, juntos, um ângulo de uma volta, que mede 360º. Assim:

x + 50º = 360º

x = 360º - 50º

x = 310º

Logo, o valor do ângulo não-convexo é 310º.

Um sistema de inequação do 1º grau é formado por duas ou mais inequações, cada uma delas tem apenas uma variável sendo que essa deve ser a mesma em todas as outras inequações envolvidas.

Quando terminamos a resolução de um sistema de inequações chegamos a um conjunto solução, esse é composto por possíveis valores que x deverá assumir para que exista o sistema.

Para chegamos a esse conjunto solução devemos achar o conjunto solução de cada inequação envolvida no sistema, a partir daí fazermos a intersecção dessas soluções.
O conjunto formado pela intesecção chamamos de CONJUNTO SOLUÇÃO do sistema.

Veja alguns exemplos de sistema de inequação do 1º grau:



Vamos achar a solução de cada inequação.

4x + 4 ≤ 0
4x ≤ - 4
x ≤ - 4 : 4
x ≤ - 1


S1 = {x R | x ≤ - 1}

Fazendo o cálculo da segunda inequação temos:
x + 1 ≤ 0
x ≤ - 1


A “bolinha” é fechada, pois o sinal da inequação é igual.

S2 = { x R | x ≤ - 1}

Calculando agora o CONJUTO SOLUÇÃO da inequação temos:
S = S1 ∩ S2


Portanto:
S = { x R | x ≤ - 1} ou S = ] - ∞ ; -1]



Em primeiro lugar devemos calcular o conjunto solução de cada inequação.
3x + 1 > 0
3x > -1
x > -1
3


A “bolinha” é aberta, pois o sinal da inequação não é igual.

Calculamos agora o conjunto solução da outra solução.
5x – 4 ≤ 0
5x ≤ 4
x ≤ 4
5

Agora podemos calcular o CONJUNTO SOLUÇÃO da inequação, assim temos:
S = S1 ∩ S2



Portanto:

S = { x R | -1 < x ≤ 4} ou S = ] -1 ; 4]
3 5 3 5




Devemos organizar o sistema antes de resolvê-lo, veja como fica:



Calculando o conjunto solução de cada inequação temos:
10x – 2 ≥ 4
10x ≥ 4 + 2
10x ≥ 6
x ≥ 6
10
x ≥ 3
5


6x + 8 < 2x + 10
6x -2x < 10 – 8
4x < 2
x < 2
4

x < 1
2


Podemos calcular o CONJUNTO SOLUÇÃO da inequação, assim temos:
S = S1 ∩ S2


Observando a solução veremos que não há intersecção, então o conjunto solução desse sistema inequação, será:

S =

A Matemática é uma das disciplinas mais importantes para qualquer aluno. Escrevo isto, porque, também é desde sempre uma disciplina que os alunos acham bastante difícil e árida e com pouca relevância para a sua vida diária, dizem eles. Venho aqui defender a dama da Matemática. Também já fui aluno, também já tive dificuldades com ela, mas aprendi a gostar da matemática e a considerá-la absolutamente fundamental para o desenvolvimento mental do indivíduo.
E porquê, perguntam vocês, é a Matemática assim tão importante?
No meu ponto de vista, a grande mais vaia da Matemática não é apenas a simples aritmética do dia a dia, mas sim, o desenvolvimento do raciocínio. Grande parte da Matemática assenta em deduções lógicas, dependentes umas das outras. Devemos ser capazes de ‘partir’ um problema em passos lógicos e resolvê-lo passo a passo, usando técnicas e teoremas que muitas vezes são o resultado de anos de aprendizagem. O raciocino que temos de desenvolver para a resolução dos problemas Matemáticos pode, e deve, ser utilizado em muitas outras áreas do conhecimento e da nossa vida e é a grande mais valia que esta disciplina traz ao comum dos cidadãos

sistema de duas equações do 1 grau com duas incóguinitas

Equações de primeiro grau com duas incógnitas
Seja x + y = 8 uma equação linear nas variáveis x e y, em que seu conjunto solução pertence a R X R.

Algumas de suas possíveis soluções são (5, 3); (– 2, 10) e (8, 0).

Observe que não há uma única solução. Na verdade, podemos encontrar um número infinito de soluções para esta equação.

Exemplo:

Acompanhe o seguinte exercício: a soma de dois números é 8 e sua diferença é 2. Que números são esses? Se x e y são esses números, as equações serão:

x + y = 8 (a soma é 8); x– y = 2 (a diferença é 2)

Esse tipo de situação em que aparece mais de uma equação recebe o nome de sistema de equações.

Podemos observar que essas equações têm uma solução em comum, isto é, que há um par de números (x,y) que fazem cumprir simultaneamente a igualdade numérica nas duas equações. Neste caso é (5, 3).


Para lembrar:

A solução de um sistema de equações é o conjunto de valores das incógnitas que, substituídas em todas as equações, as transformam em identidades.


Para lembrar:

Os sistemas de equações classificam-se em determinados, indeterminados e impossíveis ou incompatíveis, segundo tenham uma única solução, infinitas soluções ou não tenham nenhuma solução, respectivamente.


Sistema de equações
Um conjunto de m equações com n incógnitas recebe o nome de sistema linear de equações.

A solução do sistema é:

•


Um conjunto de pares ordenados, se o sistema tiver duas incógnitas;

•


Um conjunto de ternas ordenadas, se o sistema tiver três incógnitas, e assim sucessivamente. São soluções, simultaneamente, das m equações; isto é, a solução do sistema é a interseção dos conjuntos solução das equações.

O processo para encontrar a solução de um sistema de equações é conhecido como resolução simultânea.


Sistema de duas equações lineares

Exemplo:



Observe que, como a segunda equação só tem o x, podemos isolar a incógnita e achar seu valor.

O valor x = 4 pertence à solução do sistema, pois é a única solução da segunda equação.

Substituímos, agora, x por seu valor (4) na primeira equação do exemplo:

A solução do sistema de equações compõe-se dos valores:

x = 4 e y = 2

Podemos facilmente comprovar isso substituindo os valores achados no sistema inicial:

3 X 4 – 5 X 2 = 2, do qual obtemos 2 = 2

2 X 4 = 8, do qual obtemos 8 = 8


Métodos de resolução
Existem três métodos para resolver um sistema de equações com duas incógnitas:

•


Comparação


•


Substituição


•


Adição

É conveniente observar, antes de começar a resolução do sistema por um dos métodos acima, se alguma equação pode ser simplificada, o que facilitará a operação.


Resolução de um sistema de equações por comparação

Esse método consiste em:

•


Isolar uma mesma incógnita em cada equação.

•


Igualar as duas expressões.

•


Resolver a equação de primeiro grau assim obtida.



Exemplo:

Resolver, por este método, o seguinte sistema:



•


Escolhemos uma das incógnitas, x ou y, isolando-a em ambas as equações.

Optamos pela incógnita x.

Na primeira equação:

Na segunda equação:

x = 5 + 2y

Se a incógnita x pode ser expressa na forma (5 + 2y) e na forma, então essas duas expressões são iguais.

•


Portanto, vamos igualar as duas expressões obtidas:





•


Resolvemos agora a equação obtida:



Para achar o valor da outra incógnita, x, voltamos ao início do exemplo e, em qualquer das expressões onde o x aparece isolado, substituímos o valor de y por (– 1).

Substituímos esse valor na expressão mais simples:

x = 5 + 2yx = 5 + 2(– 1)x = 5 – 2x = 3

Observe que, se fizermos substituição igual de y na outra expressão, o resultado será o mesmo: