Equações de primeiro grau com duas incógnitas
Seja x + y = 8 uma equação linear nas variáveis x e y, em que seu conjunto solução pertence a R X R.
Algumas de suas possíveis soluções são (5, 3); (– 2, 10) e (8, 0).
Observe que não há uma única solução. Na verdade, podemos encontrar um número infinito de soluções para esta equação.
Exemplo:
Acompanhe o seguinte exercício: a soma de dois números é 8 e sua diferença é 2. Que números são esses? Se x e y são esses números, as equações serão:
x + y = 8 (a soma é 8); x– y = 2 (a diferença é 2)
Esse tipo de situação em que aparece mais de uma equação recebe o nome de sistema de equações.
Podemos observar que essas equações têm uma solução em comum, isto é, que há um par de números (x,y) que fazem cumprir simultaneamente a igualdade numérica nas duas equações. Neste caso é (5, 3).
Para lembrar:
A solução de um sistema de equações é o conjunto de valores das incógnitas que, substituídas em todas as equações, as transformam em identidades.
Para lembrar:
Os sistemas de equações classificam-se em determinados, indeterminados e impossíveis ou incompatíveis, segundo tenham uma única solução, infinitas soluções ou não tenham nenhuma solução, respectivamente.
Sistema de equações
Um conjunto de m equações com n incógnitas recebe o nome de sistema linear de equações.
A solução do sistema é:
•
Um conjunto de pares ordenados, se o sistema tiver duas incógnitas;
•
Um conjunto de ternas ordenadas, se o sistema tiver três incógnitas, e assim sucessivamente. São soluções, simultaneamente, das m equações; isto é, a solução do sistema é a interseção dos conjuntos solução das equações.
O processo para encontrar a solução de um sistema de equações é conhecido como resolução simultânea.
Sistema de duas equações lineares
Exemplo:
Observe que, como a segunda equação só tem o x, podemos isolar a incógnita e achar seu valor.
O valor x = 4 pertence à solução do sistema, pois é a única solução da segunda equação.
Substituímos, agora, x por seu valor (4) na primeira equação do exemplo:
A solução do sistema de equações compõe-se dos valores:
x = 4 e y = 2
Podemos facilmente comprovar isso substituindo os valores achados no sistema inicial:
3 X 4 – 5 X 2 = 2, do qual obtemos 2 = 2
2 X 4 = 8, do qual obtemos 8 = 8
Métodos de resolução
Existem três métodos para resolver um sistema de equações com duas incógnitas:
•
Comparação
•
Substituição
•
Adição
É conveniente observar, antes de começar a resolução do sistema por um dos métodos acima, se alguma equação pode ser simplificada, o que facilitará a operação.
Resolução de um sistema de equações por comparação
Esse método consiste em:
•
Isolar uma mesma incógnita em cada equação.
•
Igualar as duas expressões.
•
Resolver a equação de primeiro grau assim obtida.
Exemplo:
Resolver, por este método, o seguinte sistema:
•
Escolhemos uma das incógnitas, x ou y, isolando-a em ambas as equações.
Optamos pela incógnita x.
Na primeira equação:
Na segunda equação:
x = 5 + 2y
Se a incógnita x pode ser expressa na forma (5 + 2y) e na forma, então essas duas expressões são iguais.
•
Portanto, vamos igualar as duas expressões obtidas:
•
Resolvemos agora a equação obtida:
Para achar o valor da outra incógnita, x, voltamos ao início do exemplo e, em qualquer das expressões onde o x aparece isolado, substituímos o valor de y por (– 1).
Substituímos esse valor na expressão mais simples:
x = 5 + 2yx = 5 + 2(– 1)x = 5 – 2x = 3
Observe que, se fizermos substituição igual de y na outra expressão, o resultado será o mesmo:
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